Question

20．求下列函數的導數．
（1）y=x²lnx；
（2）y=（4x+1）⁵；
（3）y=sin3^x；
（4）y=5e^-2x-1；
（5）y=5^sinx；
（6）y=sec²x；
（7）y=cot$\frac{1}{x}$；
（8）y=ln[ln（lnx）]；
（9）y=2${\;}^{\frac{x}{lnx}}$；
（10）y=tanx-$\frac{1}{3}$tan³x+$\frac{1}{5}$tan⁵x．

Answer 1

分析 根據基本初等函數的求導公式和復合函數求導法則，對每一個題目進行認真求導即可．

解答 解：（1）∵y=x²lnx，
∴y′=2x•lnx+x²•$\frac{1}{x}$=2xlnx+x；
（2）∵y=（4x+1）⁵，
∴y′=5•（4x+1）⁴•（4x+1）′=20（4x+1）⁴；
（3）∵y=sin3^x，
∴y′=cos3^x•（3^x）′=cos3^x3^xln3；
（4）∵y=5e^-2x-1，
∴y′=5e^-2x•（-2x）′=-10e^-2x；
（5）∵y=5^sinx，
∴y′=5^sinx•ln5•（sinx）′=5^sinxln5cosx；
（6）∴y=sec²x=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$=（cosx）^-2，
∴y′=-2（cosx）^-3•（cosx）′=$\frac{2sinx}{{cos}^{3}x}$=2tanxsec²x；
（7）∵y=cot$\frac{1}{x}$=$\frac{cos\frac{1}{x}}{sin\frac{1}{x}}$，
∴y′=$\frac{-sin\frac{1}{x}•（-\frac{1}{{x}^{2}}）•sin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}•cos\frac{1}{x}•（-\frac{1}{{x}^{2}}）}{{sin}^{2}\frac{1}{x}}$=$\frac{1}{{{x}^{2}sin}^{2}\frac{1}{x}}$；
（8）∵y=ln[ln（lnx）]，
∴y′=$\frac{1}{ln（lnx）}$•[ln（lnx）]′=$\frac{1}{ln（lnx）}$•$\frac{1}{lnx}$•（lnx）′=$\frac{1}{ln（lnx）}$•$\frac{1}{lnx}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{xlnxln（lnx）}$；
（9）∵y=2${\;}^{\frac{x}{lnx}}$，
∴y′=${2}^{\frac{x}{lnx}}$•ln2•（$\frac{x}{lnx}$）′=${2}^{\frac{x}{lnx}}$•ln2•$\frac{lnx-x•\frac{1}{x}}{{ln}^{2}x}$=$\frac{{2}^{\frac{x}{lnx}}（lnx-1）ln2}{{ln}^{2}x}$；
（10）設m=tanx=$\frac{sinx}{cosx}$，∴m′=$\frac{cosx•cosx-sinx•（-sinx）}{{cos}^{2}x}$=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$，
又y=tanx-$\frac{1}{3}$tan³x+$\frac{1}{5}$tan⁵x，
∴y′=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$-$\frac{1}{3}$•3tan²x•$\frac{1}{{cos}^{2}x}$+$\frac{1}{5}$•5tan⁴x•$\frac{1}{{cos}^{2}x}$=（1-tan²x+tan⁴x）sec²x．

點評 本題考查了求導公式和復合函數求導法則的應用問題，是綜合性題目．