Question

9．如圖，平行六面體ABCDA₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AD}$=b，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=c，E為A₁D₁的中點，F為BC₁與B₁C的交點，
（1）用基底{a，b，c}表示下列向量：$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AF}$；
（2）在圖中畫出$\overrightarrow{D{D}_{1}}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$化簡后的向量．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{DB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BB1}$-$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AA1}$+$\overrightarrow{A1E}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$．由此能求出結果．
（2）$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DD1}$+（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{D1A1}$=$\overrightarrow{DA1}$．由此能求出結果．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）$\overrightarrow{DB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BB1}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AA1}$+$\overrightarrow{A1E}$
=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$．
（2）$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DD1}$+（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{D1A1}$=$\overrightarrow{DA1}$．
連接DA₁，則$\overrightarrow{DA1}$即為所求．

點評 本題考查向量的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量加法法則的合理運用．