Question

1．對任意實數λ，直線l₁：x+λy-m-λn=0與圓C：x²+y²=r²總相交于兩不同點，則直線l₂：mx+ny=r²與圓C的位置關系是（　　）

• A． 相離
• B． 相交
• C． 相切
• D． 不能確定

Answer 1

分析 由直線l₁的方程可得它經過定點（m，n），結合條件可得點（m，n）在圓C的內部，故有 m²+n²＜r²．再求得點C到直線l₂的距離為d＞半徑r，可得直線l₂與圓C的位置關系是相離．

解答 解：由直線l₁：x+λy-m-λn=0 即 （x-m）+λ（y-n）=0，顯然直線l₁：經過定點（m，n）．
再根據l₁與圓C：x²+y²=r²總相交于兩不同點，可得點（m，n）在圓C的內部，∴m²+n²＜r²．
再根據點C到直線l₂的距離為d=$\frac{|0+0+{r}^{2}|}{\overline{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}$=$\frac{{r}^{2}}{\overline{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}$＞$\frac{{r}^{2}}{r}$=r，
故直線l₂：mx+ny=r²與圓C的位置關系是 相離，
故選：A．

點評 本題主要考查直線過定點問題，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系的判斷方法，屬于中檔題．