Question

6．雙曲線C₁與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同的漸近線，且經過點A（2，-$\sqrt{6}$），橢圓C₂以雙曲線C₁的焦點為焦點且橢圓上的點與焦點的最短距離為$\sqrt{3}$，求雙曲線C₁和橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 由已知設雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=λ，代入過A（2，-$\sqrt{6}$），求出λ，可得雙曲線C₁的方程，利用橢圓C₂以雙曲線C₁的焦點為焦點且橢圓上的點與焦點的最短距離為$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求出橢圓C₂的方程．

解答 解：由已知設雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=λ，
∵過A（2，-$\sqrt{6}$），∴$λ=\frac{1}{2}$，∴雙曲線C₁的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
則焦點F（$±\sqrt{3}$，0），
∵橢圓上的點與焦點的最短距離為$\sqrt{3}$，
∴a-c=$\sqrt{3}$，
∴$a=2\sqrt{3}$，∴b=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查雙曲線方程、橢圓方程與性質，考查學生的計算能力，確定幾何量是關鍵．