Question

15．對于數列{x_n}，若對任意n∈N⁺，都有$\frac{{x}_{n}+{x}_{n+2}}{2}＜{x}_{n+1}$成立，則稱數列{x_n}為“減差數列”．設b${\;}_{n}=2t-\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n-1}}$，若數列b${\;}_{5}，{b}_{6}，{b}_{7}，…，{b}_{n}（n≥5，n∈{N}^{+}）$是“減差數列”，則實數t的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 數列b₅，b₆，b₇，…是“減差數列”，可得n≥5時，得$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$＜b_n+1，代入化簡即可得出．

解答 解：數列b₅，b₆，b₇，…是“減差數列”，得$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$＜b_n+1，n≥5，
即t-$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+t-$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＜2t-$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
即$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＞$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
化簡得t（n²-4n）＞n-2，
當n≥5時，若t（n²-4n）＞n-2恒成立，則t＞$\frac{n-2}{{n}^{2}-4n}$=$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$恒成立，
又當n≥5時，$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$的最大值為$\frac{3}{5}$，
則t的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{3}{5}$，+∞）．

點評 本題考查了新定義“減差數列”、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．