Question

11．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC=90°，∠APB=120°，則tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠PBA=α，從而算出PB=sinα，∠PAB=60°-α．在△APB中根據(jù)正弦定理建立關(guān)于α的等式，解出2sinα=$\sqrt{3}$cosα，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由兩角差的正切公式即可算出tan∠PAB的值．

解答 解：設(shè)∠PBA=α，可得∠PBC=90°-α，∠PAB=180°-∠PBA-∠APB=60°-α，
在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°-α）=sinα，
△ABP中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin120°}$=$\frac{PB}{sin（60°-α）}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{sinα}{sin（60°-α）}$，
∴sinα=2sin（60°-α）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα），化簡得2sinα=$\sqrt{3}$cosα，
由此可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以tan∠PAB=tan（60°-α）=$\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題在直角三角形中求角的正切值，著重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的三角公式等知識，屬于中檔題．