Question

已知△ABC中，a+b=

3

c，2sin²C=3sinAsinB．
（1）求∠C；
（2）若S_△ABC=

3

，求c．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知第二個等式利用正弦定理化簡得到2c²=3ab，利用余弦定理表示出cosC，將各自的值代入計算求出cosC的值，即可確定出C的度數；
（2）利用三角形面積公式列出關系式，把ab，sinC，以及已知面積代入求出ab的值，即可確定出c的值．

解答： 解：（1）已知等式2sin²C=3sinAsinB，利用正弦定理化簡得：2c²=3ab，即ab=

2

3

c²，
∵△ABC中，a+b=

3

c，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

3c2- 4 3 c2-c2

4 3 c2

=

1

2

，
則∠C=60°；
（2）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，sinC=

3

2

，
∴ab=4，即2c²=3ab=12，
則c=

6

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．