Question

過拋物線y²=2px焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，過B點作其準線的垂線，垂足為D，設O為坐標原點，問，是否存在實數向量

AO

=λ

OD

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由拋物線方程得其焦點坐標和準線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點坐標關系，求出和的坐標，從而判斷λ是否存在．

解答： 解　假設存在實數λλ，使

AO

=λ

OD

；λ．拋物線方程為y²=2px，
則F（

p

2

，0）F準線ll：xx=-

p

2

，
（1）當直線ABAB的斜率不存在，即ABAB⊥xx軸時，
交點A（

p

2

，p）A、B（

p

2

，-p），D（-

p

2

，-p）；
B
∴

AO

=（-

p

2

，-p），

OD

=（-

p

2

，-p），
∴存在λλ=1，使

AO

=λ

OD

；
（2）當直線ABAB的斜率存在時，
設直線ABAB的方程為yy=k（x-

p

2

）k （kk≠0），
設AA（xx₁，yy₁），BB（xx₂，yy₂），則DD（-

p

2

，yy₂），xx₁=

y1

k

+

p

2

，xx₂=

y2

k

+

p

2

，
聯立方程消x得kyky²-2pypy-kpkp²=0，
∴yy₁yy₂=-pp²，∴yy₂=

-p2

y1

，
則

AO

=（-xx₁，-yy₁）=（-（

y1

k

+

p

2

），-yy₁）；

OD

=（-

p

2

，yy₂）=（-

p

2

，

-p2

y1

）；
假設存在實數λλ，使

AO

=λ

OD

；
則-（

y1

k

+

p

2

）=-λ

p

2

，-yy₁=λ

-p2

y1

，
化簡得，kλ-2

λ

-k=0；
△=4+4k²＞0，
故λ一定存在；
綜上所述，存在實數λ，使向量

AO

=λ

OD

．

點評：本題是一道探索存在性問題，應先假設存在，設出A、B兩點坐標，從而得到D點坐標，再設出直線AB的方程，利用方程組和向量條件求出λ，屬于中檔題．