Question

在三棱錐A-BCD中，所有棱長都相等，過點A作底面BCD的垂線，垂足為H，點M是AH的中點，則∠BMC=

 

．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：數形結合,空間位置關系與距離

分析：根據已知先求得BH的長，從而可求MH，BM，CM的值，由勾股定理可得BC²=MB²+CM²，可得BM⊥MC，即可求得∠BMC的值．

解答：
解：設三棱錐A-BCD中，棱長為1，如圖，在底面BCD中，連接BH交CD于F點，連接CH交BD于E點，
根據正三棱錐的特征，則△BEH∽△BFD，有

BH

BD

=

BE

BF

，即

BH

1

=

1 2

3 2

，可得BH=

1 2

3 2

=

3

3

，
∴AH=

AB2-BH2

=

6

3

∴MH=

1

2

AH=

6

6

∴BM=

BH2+MH2

=

2

2

同理可證，CM=

CH2+MH2

=

2

2

BC=1
∴BC²=MB²+CM²=1
∴BM⊥MC
∴則∠BMC=

π

2

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，正確的作出圖形，分析邊角關系是關鍵，屬于基本知識的考查．