Question

直線l：x+2y-3=0與圓C：x²+y²+x-6y+m=0相交于A、B兩點，O為坐標原點，D為線段AB的中點
（Ⅰ）分別求出圓心C以及點D的坐標；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求|AB|的長以及m的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0的圓心為（-

1

2

，3），將直線和圓進行聯立，利用根與系數之間的關系建立條件方程，利用韋達定理，D為線段AB的中點，求出點D的坐標；
（Ⅱ）利用韋達定理、兩個向量垂直的性質，求出m的值，再求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0的圓心為（-

1

2

，3）．
由題意設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l：x+2y-3=0與圓C：x²+y²+x-6y+m=0，消y得5x²+10x+4m-27=0，
于是根據韋達定理得，x₁+x₂=-2，
∵D為線段AB的中點，
∴D（-1，2）；
（Ⅱ）根據韋達定理得，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

．
∴y₁•y₂=

1

4

[9-3（x₁+x₂）+x₁•x₂]=

m+12

5

．
根據OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

4m-27

5

+

m+12

5

=0，求得m=3，
∴方程為x²+2x-3=0，
∴x=1或-3，
∴|AB|=

1+ 1 4

×|1+3|=2

5

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．