Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）|a₀|+|a₁|+…+|a₇|．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）x=1時，求出a₀+a₁+a₂+…+a₇的值，x=0時求出a₀的值，即可計算a₁+a₂+…+a₇的值；
（2）根據展開式知，a₁、a₃、a₅、a₇均為負值，a₀、a₂、a₄、a₆均為正值，求出a₁+a₃+a₅+a₇與a₀+a₂+a₄+a₆的值即可．

解答： 解：（1）當x=1時，（1-2x）⁷=（1-2）⁷=-1，
∴a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1；
當x=0時，a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a₇=-1-1=-2；
（2）由展開式知，a₁、a₃、a₅、a₇均為負值，a₀、a₂、a₄、a₆均為正值，
當x=1時，a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1，①
當x=-1時，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇=3⁷，②
∴①-②得，2（a₁+a₃+a₅+a₇）=-1-3⁷，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=-

1+37

2

；
∴a₀+a₂+a₄+a₆=-1-（a₁+a₃+a₅+a₇）=-1+

1+37

2

=

-1+37

2

；
∴|a₀|+|a₁|+…+|a₇|=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇
=（a₀+a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅+a₇）
=

-1+37

2

+

1+37

2

=3⁷．

點評：本題考查了二項式定理的應用問題，解題時應根據展開式的特點，靈活應用特殊值計算，是中檔題目．