Question

如圖甲所示，點E為矩形ABCD邊CD的中點，AB=2，AD=

2

，將△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得D₁-AE-B為直二面角，連接BD₁，
CD₁--得到如圖乙所示的幾何體．
（1）證明：AE⊥BD₁；
（2）求二面角D₁-BC-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）過點D₁作D₁O⊥AE，交AE于點O，連結BO，由已知得D₁O⊥平面ABCE，AD₁=

2

，D₁E=1，AE=BE=

3

，D₁O=

2 ×1

3

=

6

3

，AO=

2- 2 3

=

2 3

3

，EO=

1- 2 3

=

3

3

，BO=

2 6

3

，從而得到AO⊥BO，進而得到AE⊥平面BOD₁，由此能證明AE⊥BD₁．
（2）以O為原點，OB為x軸，OE為y軸，OD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D₁-BC-A的余弦值．

解答： （1）證明：過點D₁作D₁O⊥AE，交AE于點O，連結BO，
∵點E為矩形ABCD邊CD的中點，AB=2，AD=

2

，
將△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，
使得D₁-AE-B為直二面角，
∴D₁O⊥平面ABCE，AD₁=

2

，D₁E=1，AE=BE=

3

，
D₁O=

2 ×1

3

=

6

3

，AO=

2- 2 3

=

2 3

3

，
EO=

1- 2 3

=

3

3

，
cos∠BAO=

AB2+AE2-BE2

2AB•AE

=

4+3-3

2×2× 3

=

1

3

，
BO=

AB2+AO2-2AB•AO•cos∠BAO

=

4+ 4 3 -2×2× 2 3 3 × 1 3

=

2 6

3

，
∴AO²+BO²=AB²，∴AO⊥BO，
∴∠BOD₁是直二面角D₁-AE-B的平面角，
∴∠BOD₁=90°，
∵BO⊥AE，D₁O⊥AE，BO∩OD₁=O，
∴AE⊥平面BOD₁，∵BD₁?平面BOD₁，
∴AE⊥BD₁．
（2）解：以O為原點，OB為x軸，OE為y軸，OD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
D₁（0，0，

6

3

），B（

2 6

3

，0，0），C（

6

3

，

2 3

3

，0），

D1B

=（

2 6

3

，0，-

6

3

），

D1C

=（

6

3

，

2 3

3

，-

6

3

），
設平面D₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • D1B = 2 6 3 x- 6 3 z=0 n • D1C = 6 3 x+ 2 3 3 y- 6 3 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

2

2

，2），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
設二面角D₁-BC-A的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

1+ 1 2 +4

|=

2 22

11

．
∴二面角D₁-BC-A的余弦值為

2 22

11

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．