Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，如圖所示，線段OA，AB，BC和射線CD組成的折線是函數f（x）的部分圖象，其中O為坐標原點，A（2，1）B（3，1）C（4，0）D（5，1）
（Ⅰ）求f（-1）和f（6）的值
（Ⅱ）若f（log₂x-1）＞f（log₂x），求實數x的取值范圍

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出x∈[0，1]，[4，+∞）的解析式，根據偶函數的性質求解，f（-1）=f（1）．
（2）因為log₂x-1＜log₂x，再由f（log₂x-1）＞f（log₂x），得出函數是減函數，有偶函數和圖象可得．

解答： 解：當0≤x≤2時，可求得f（x）=

1

2

x，
因為f（x）是r上的偶函數，
所以f（-1）=f（1）=

1

2

，
又C（4，0）D（5，1），結合圖形可求得：
當x≥4時，f（x）=x-4，
故f（6）=6-4=2
（2）∵log₂x-1＜log₂x，
又f（log₂x-1）＞f（log₂x），
∴f（x）是減函數，
有圖象可知：3≤log₂x-1＜log₂x≤4，或log₂x-1＜log₂x≤-4，-2≤log₂x-1＜log₂x≤0，
解得：x=16，或0＜x≤

1

16

，或

1

2

≤x≤1

點評：本題主要考查偶函數的性質和單調性，屬于基礎題．