Question

6．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n滿足：2S_n²-（3n²+3n-2）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)令n=1，結(jié)合數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)對(duì)2S_n²-（3n²+3n-2）S_n-3（n²+n）=0變形可知$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，通過(guò)a_n＞0可知${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，利用當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅲ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得：$2S_1^2-（{3•{1^2}+3•1-2}）{S_1}-3（{{1^2}+1}）=0$，
又S₁=a₁，
所以a₁=3．
（Ⅱ）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得：$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，
又a_n＞0，所以S_n＞0，
∴${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，
∴當(dāng)n＞2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}[{{n^2}+n-{{（{n-1}）}^2}-（{n-1}）}]=3n$，
由（Ⅰ）可知，
此式對(duì)n=1也成立，
∴a_n=3n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{3n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$；
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$；
∴${T_n}-\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，錯(cuò)位相減法求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．