Question

1．已知f（x）的定義域是（0，+∞），f'（x）為f（x）的導函數，且滿足f（x）＜f'（x），則不等式${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2）的解集是（　　）

• A． （-∞，2）∪（1，+∞）
• B． （-2，1）
• C． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• D． （-1，2）

Answer 1

分析 構造新函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，通過求導得到g（x）的單調性，所解的不等式轉化為求g（x²+x）＞g（2），結合函數的單調性得到不等式，求解得答案．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，（x＞0），
∵f（x）＜f'（x），∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞增，
由${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2），得$\frac{f（{x}^{2}+x）}{{e}^{{x}^{2}+x}}＞\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，即g（x²+x）＞g（2），
∴x²+x＞2，
解得：x＜-2或x＞1．
∴不等式${e^{-x}}f（{{x^2}+x}）＞{e^{{x^2}-2}}$f（2）的解集是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造新函數g（x）是解題的關鍵，是中檔題．