Question

10．已知函數$f（x）=\sqrt{4-{8^x}}$．
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由解析式列出不等式，由指數的運算性質求出函數的定義域，由指數函數的性質求出值域；
（2）由解析式化簡f（x）≤1，利用對數函數的性質求出不等式的解集．

解答 解：（1）由題意得，4-8^x≥0，
則2^3x≤2²，即3x≤2，解得x≤$\frac{2}{3}$，
所以函數f（x）的定義域是（-∞，$\frac{2}{3}$]；
又4-8^x＜4，所以$0≤\sqrt{4-{8^x}}＜2$，
即函數f（x）的值域為[0，2）．
（2）由f（x）≤1得，$\sqrt{4-{8^x}}≤1$，
則0≤4-8^x≤1，即3≤8^x≤4，
兩邊取以8為底的對數，解得${log_8}3≤x≤\frac{2}{3}$，
所以不等式的解集是$[lo{g}_{8}3，\frac{2}{3}]$．

點評 本題考查了指數不等式的解法，指數運算性質，函數的定義域，以及對數、指數函數的性質，屬于中檔題．