Question

9．已知函數$f（x）=sinωx•cosωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}{cos^2}ωx（{ω＞0}）$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若a，b，c分別為△ABC的三內角A，B，C的對邊，角A是銳角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求ω，可得函數解析式，進而由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），可得f（x）的單調遞增區間．
（Ⅱ）由$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=0$，又角A是銳角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根據三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）$f（x）=sinωx•cosωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}{cos^2}ωx$=$\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}•\frac{1+cos2ωx}{2}=sin（{2ωx+\frac{π}{3}}）$，…（2分）
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，從而可求ω=1，…（3分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（4分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），可得：$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}（{k∈Z}）$，
所以f（x）的單調遞增區間為：$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]（{k∈Z}）$．…（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=0$，又角A是銳角，
∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，即$A=\frac{π}{3}$．…（8分）
又a=1，b+c=2，
所以a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，
∴1=4-3bc，
∴bc=1．…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，周期公式，余弦定理，三角形面積公式，正弦函數的單調性在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．