Question

9．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{-2x-1，x≤0}\end{array}\right.$，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域，則z=x²+y²+2x+2y在D上的最小值為-$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 先求出曲線在點（1，0）處的切線，然后畫出區域D，利用線性規劃的方法求出目標函數z的最小值即可．

解答 解：當x＞0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
則f′（1）=1，所以曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線為y=x-1，
D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域如下圖陰影部分．

而z=x²+y²+2x+2y=（x+1）²+（y+1）²-2，
表示以（-1，-1）為圓心，以（-1，-1）與陰影部分內的點為半徑的平方再減2，
顯然（-1，-1）到直線AC的距離最小，
由C（-$\frac{1}{2}$，0），A（0，-1）得AC的方程是：2x+y+1=0，
此時，r=d=$\frac{|-2-1+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，r²=$\frac{4}{5}$，
故z的最小值是$\frac{4}{5}$-2=-$\frac{6}{5}$，
故答案為：-$\frac{6}{5}$．

點評 本題主要考查了線性規劃，以及利用導數研究函數的切線，同時考查了作圖的能力和分析求解的能力，屬于中檔題．