Question

10．已知函數f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值及函數f（x）的單調減區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，最小正周期為π．利用周期公式求ω的值，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區間上，解不等式得函數的單調遞減區間；
（2）根據三角函數平移變換的規律，求出g（x）的解析式和周期以及g（x）零點，根據y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，結合三角函數零點可得范圍．求出b的最小值．

解答 解：（1）由題意得：f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx$-\frac{π}{3}$）
由最小正周期為π=$\frac{2π}{2ω}$，得ω=1，
得f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{3}$）
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
整理得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
所以函數f（x）的單調減區間是$[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]$，k∈Z．
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到y=2sin2x+1的圖象，
∴g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{7π}{12}$或x=kπ+$\frac{11π}{12}$（k∈Z），
∴y=g（x）在[0，π]上恰好有兩個零點，
若y=g（x）在[0，b]上至少有10個零點，
則b不小于第10個零點的橫坐標即可，
即b的最小值為4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，確定函數的解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．