Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由分段函數知，分兩部分討論函數的單調性，從而可得f（x）在R上是減函數，化恒成立問題為x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；從而化為最值問題即可．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，知：
①當x≤0時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故f（x）在（-∞，0]上是減函數；
②當x＞0時，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數；
又∵（0-2）²-1=-（0+1）²+4，
∴f（x）在R上是減函數，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化為
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故選：D．

點評 本題考查了分段函數的性質應用及分段函數的單調性的判斷，同時考查了恒成立問題化為最值問題，屬于中檔題．