Question

14．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為非零向量，滿足$（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a；（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得cosθ=$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，θ∈[0，2π]，∵滿足$（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a；（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=2•|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．