Question

6．三棱錐的三組相對的棱（相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱）分別相等，且長分別為2，m，n，其中m²+n²=12，則該三棱錐體積的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設長方體的三度為，a，b，c，所求三棱錐的體積為：abc-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{1}{3}$abc．底面三角形是等腰三角形時，m=n=$\sqrt{6}$時，能求出三棱錐體積的最大值．

解答 解：如圖設長方體的三度為，a，b，c，
所求三棱錐的體積為：
abc-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{1}{3}$abc．
a²+b²=4，b²+c²=n²，a²+c²=m²，
所以2（a²+b²+c²）
=n²+m²+4=16．
a²+b²+c²=8．
因為8≥$3\root{3}{（abc）^{2}}$，abc≤$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{3}}$=$\frac{16\sqrt{6}}{9}$，
此時a=b=c，與n²+m²=12，a²+b²=4，矛盾；
當底面三角形是等腰三角形時，m=n=$\sqrt{6}$，
三棱錐體積的最大值為：$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，擴展為長方體是解題的關鍵，考查基本不等式的應用，轉化思想與計算能力．