Question

18．已知{a_n}為公差不為零的等差數列，首項a₁=a，{a_n}的部分項${a_{k_1}}$、${a_{k_2}}$、…、${a_{k_n}}$恰為等比數列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n（用a表示）；
（2）設數列{k_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列的公差為d，據題有：${a_5}^2={a_1}•{a_{17}}$，即（a+4d）²=a（a+16d），
∴16d²=8ad，∵d≠0，∴$d=\frac{a}{2}$，
從而${a_n}={a_1}+（n-1）d=\frac{a（n+1）}{2}$．
（2）設等比數列的公比為q，則$q=\frac{a_5}{a_1}=3$，故${a_{k_n}}=a•{3^{n-1}}$，
另一方面，${a_{k_n}}=\frac{a}{2}（{k_n}+1）$，
所以$\frac{a}{2}（{k_n}+1）=a•{3^{n-1}}$，∵a≠0，∴${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，∴${S_n}={3^n}-n-1$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．