Question

8．已知平面內一動點M到點F（1，0）距離比到直線x=-3的距離小2．設動點M的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，過點B作直線：x=-1的垂線，垂足為D，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求證：①x₁•x₂=1，y₁•y₂=-4；      ②A、O、D三點共線 （O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）根據題意，分析可得點M到點F（1，0）的距離與其到直線x=1的距離相等，進而分析可得點M的軌跡為拋物線，且其焦點為F（1，0），準線為x=-1，由拋物線的標準方程計算可得答案；
（2）①聯立直線x=my+1與拋物線的方程，可得y²-4my-4=0，利用韋達定理，可得結論；
②設D（-1，y₂），則k_AO-k_OD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}-{y}_{2}$=$\frac{4+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}}$=0，即可證明結論．

解答 解：（1）根據題意，點M到點F（1，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1，
即點M到點F（1，0）的距離與其到直線x=-1的距離相等，
則點M的軌跡為拋物線，且其焦點為F（1，0），準線為x=-1，
則其軌跡方程為y²=4x；               …（6分）
（2）①聯立直線x=my+1與拋物線的方程，可得y²-4my-4=0，
∴y₁•y₂=-4，x₁•x₂=1 …（9分）
②設D（-1，y₂），則k_AO-k_OD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}-{y}_{2}$=$\frac{4+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}}$=0，
所以A、O、D三點共線．…（12分）

點評 本題考查拋物線的定義以及拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，關鍵是靈活運用拋物線的定義．