Question

19．如圖，在空間幾何體A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是邊長為2的等邊三角形，F為AC的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AC=4，求證：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅲ）若AC=4，求幾何體C-BDF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DA的中點G連結FG，GE，推導出四邊形BFGE為平行四邊形，從而BF∥EG，由此能證明BF∥平面ADE．
（Ⅱ）取DE的中點H，連AH，CH，推導出AH⊥DE，AH⊥HC，從而AH⊥平面BCDE，由此能證明平面ADE⊥BCDE．
（Ⅲ）幾何體C-BDF的體積${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）取DA的中點G連結FG，GE，
∵F為AC的中點，∴$GF∥\frac{1}{2}DC，\;\;GF=\frac{1}{2}DC$，
又∵DC∥BE，CD=2BE，∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四邊形BFGE為平行四邊形，∴BF∥EG，
∵EG?平面ADE，BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE…（4分）
解：（Ⅱ）取DE的中點H，連AH，CH，
∵△ADE為等邊三角形，∴AH⊥DE，且$AH=\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴$HC=\sqrt{13}$，
∴AC²=AH²+HC²，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，
∴AH⊥平面BCDE，∵AH?平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（8分）
（Ⅲ）${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}$=2，
∵F是AC中點，
∴幾何體C-BDF的體積${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}=1$．…（12分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．