Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，}&{x＜0}\\{-\frac{1}{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$的圖象上存在不同的兩點A、B，使得曲線y=f（x）在這兩點處的切線重合，則點A的橫坐標的取值范圍可能是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先根據導數的幾何意義寫出函數f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關系式，求得$\frac{1}{4}$x₁⁴-2x₁-1=0，由零點存在定理，判斷A，B，再由關系式，確定x₂的范圍，即可判斷C，D．

解答 解：當x＜0時，f（x）=x²+x的導數為f′（x）=2x+1；
當x＞0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$的導數為f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂，
當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為
y-（x₁²+x₁）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1①，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²②，
由x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②可得$\frac{1}{4}$x₁⁴-2x₁-1=0，
設f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-2x-1，由f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{64}$＞0，f（0）=-1＜0，
可得x₁∈（-$\frac{1}{2}$，0），A可能；
由f（-1）=$\frac{5}{4}$＞0，B不正確；
由①可得x₂＞1，由②可得$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²＜$\frac{1}{4}$，即有x₂＞8，
則C，D不正確．
故選：A．

點評 本題主要考查了導數的幾何意義等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創新意識，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法．