Question

3．已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤λ（x²-1）對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）設函數H（x）=xlnx-λ（x²-1），當H′（x）≤0即$\frac{lnx+1}{x}$≤2λ恒成立時，函數H（x）遞減，設r（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，根據函數的單調性求出λ的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，故f′（1）=1，又f（1）=0，
故切線方程是：y=x-1；
（Ⅱ）設函數H（x）=xlnx-λ（x²-1），
由題意得，對任意x∈[1，+∞），
不等式H（x）≤0=H（1）恒成立，
又H′（x）=lnx+1-2λx，
當H′（x）≤0即$\frac{lnx+1}{x}$≤2λ恒成立時，函數H（x）遞減，
設r（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，則r′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$≤0，
故r（x）_max=r（1）=1，即1≤2λ，解得：λ≥$\frac{1}{2}$，符合題意；
λ≤0時，H′（x）=lnx+1-2λx≥0恒成立，
此時函數H（x）遞增，
于是，不等式H（x）≥H（1）=0對任意x∈[1，+∞）恒成立，不合題意；
當0＜λ＜$\frac{1}{2}$時，設q（x）=H′（x）=lnx+1-2λx，
則q′（x）=$\frac{1}{x}$-2λ=0，故x=$\frac{1}{2λ}$＞1，
x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，q′（x）＞0，此時q（x）遞增，
故H′（x）＞H′（1）=1-2λ＞0，
故x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，函數H（x）遞增，
于是，x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，H（x）＞0成立，不合題意，
綜上，實數λ的范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性、最值、著重考查運算能力以及推理能力，是一道綜合題．