Question

8．已知函數f（x）=[（a-1）x-a]lnx+x-1，a≥$\frac{1}{2}$．
（I）當a=1時，求f（x）的最小值；
（II）求證：f（x）在區間（0，1）單調遞減．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最小值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調區間，從而證明結論即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=-lnx+x-1，f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（1）=0；
（Ⅱ）f′（x）=（a-1）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$，
若a≥1，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）遞減，
若$\frac{1}{2}$≤a＜1，由（Ⅰ）得，x∈（0，1）時，
-ln$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-1＞0，即lnx＞$\frac{x-1}{x}$，
則f′（x）=（a-1）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$＜$\frac{（a-1）（x-1）}{x}$+$\frac{a（x-1）}{x}$=$\frac{（2a-1）（x-1）}{x}$≤0，
f（x）在（0，1）遞減，
綜上，a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在區間（0，1）遞減．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．