Question

2．設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆的值為-1．

Answer 1

分析 求出函數y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的導數，可得切線的斜率，由點斜式方程可得在（1，1）處的切線方程，取y=0求得x_n，然后利用對數的運算性質得答案．

解答 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得x_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{2016}{2017}$=$\frac{1}{2017}$，
則log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆=log₂₀₁₇（x₁x₂…x₂₀₁₆）
=log₂₀₁₇$\frac{1}{2017}$=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了對數的運算性質，考查轉化思想和運算能力，是中檔題．