Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AD=2BC，四棱錐P-ABCD的體積為10，點M在PD上．
（Ⅰ）求證：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若AM⊥PD，求證：PD⊥平面ABM；
（Ⅲ）若點M是棱PD的中點，求三棱錐B-ACM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AD∥BC，由此能證明BC∥平面PAD．
（Ⅱ）推導出AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進而AB⊥PD，再由AM⊥PD，能證明PD⊥平面ABM．
解：（Ⅲ）由AD=2BC，得S_△ABC=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}$，由點M是棱PD的中點，得點M到平面ABC的距離d是點P到平面ABCD的距離h的一半，由此利用四棱錐P-ABCD的體積為10，能求出三棱錐B-ACM的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
（Ⅱ）∵∠DAB=90°，∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∵AM⊥PD，AB∩AM=A，∴PD⊥平面ABM．
解：（Ⅲ）∵AD=2BC，∴S_△ABC=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}$，
∵點M是棱PD的中點，∴點M到平面ABC的距離d是點P到平面ABCD的距離h的一半，
∵四棱錐P-ABCD的體積為10，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{梯形ABCD}$=10，
∴三棱錐B-ACM的體積V_B-ACM=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}）×（\frac{1}{2}h）$=$\frac{1}{6}$×（$\frac{1}{3}×h×{S}_{梯形ABCD}$）=$\frac{1}{6}×$10=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想，是中檔題．