Question

17．如圖是市兒童樂園里一塊平行四邊形草地ABCD，樂園管理處準備過線段AB上一點E設(shè)計一條直線EF（點F在邊BC或CD上，不計路的寬度），將該草地分為面積之比為2：1的左、右兩部分，分別種植不同的花卉．經(jīng)測量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．設(shè)EB=x，EF=y（單位：m）．
（1）當點F與C重合時，試確定點E的位置；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）請確定點E、F的位置，使直路EF長度最短．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面積公式列方程求出BE；
（2）對F的位置進行討論，利用余弦定理求出y關(guān)于x的解析式；
（3）分兩種情況求出y的最小值，從而得出y的最小值，得出E，F(xiàn)的位置．

解答 解：（1）∵S_△BCE=$\frac{1}{2}×BE×BC×sin∠ABC$，S_ABCD=2×$\frac{1}{2}×AB×BC×sin∠ABC$，
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{ABCD}}$=$\frac{BE}{2AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$AB=12．即E為AB靠近A的三點分點．
（2）S_ABCD=18×10×sin120°=90$\sqrt{3}$，
當0≤x＜12時，F(xiàn)在CD上，
∴S_EBCF=$\frac{1}{2}$（x+CF）BCsin60°=$\frac{1}{3}×$90$\sqrt{3}$，解得CF=12-x，
∴y=$\sqrt{1{0}^{2}+（12-2x）^{2}-2×10×（12-2x）×cos60°}$=2$\sqrt{{x}^{2}-7x+31}$，
當12≤x≤18時，F(xiàn)在BC上，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}•x•BF•sin120°$=$\frac{1}{3}×90\sqrt{3}$，解得BF=$\frac{120}{x}$，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{14400}{{x}^{2}}-2x•\frac{120}{x}•cos120°}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{14400}{{x}^{2}}+120}$，
綜上，y=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{{x}^{2}-7x+31}，0≤x＜12}\\{\sqrt{{x}^{2}+\frac{14400}{{x}^{2}}+120}，12≤x≤18}\end{array}\right.$．
（3）當0≤x＜12時，y=2$\sqrt{{x}^{2}-7x+31}$=2$\sqrt{（x-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{75}{4}}$≥5$\sqrt{3}$，
當12≤x≤18時，y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{14400}{{x}^{2}}+120}$＞$\sqrt{360}$＞5$\sqrt{3}$，
∴當x=$\frac{7}{2}$，CF=$\frac{17}{2}$時，直線EF最短，最短距離為5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用及基本不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．