Question

7．已知某產品出廠前需要依次通過三道嚴格的審核程序，三道審核程序通過的概率依次為$\frac{9}{10}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{7}{8}$，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，該產品只有三道程序都通過才能出廠銷售
（Ⅰ）求審核過程中只通過兩道程序的概率；
（Ⅱ）現有3件該產品進入審核，記這3件產品可以出廠銷售的件數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （I）根據相互獨立事件的概率乘法公式計算；
（II）求出每一件產品通過審查的概率，利用二項分布的概率公式和性質得出分布列和數學期望．

解答 解：（I）審核過程中只通過兩道程序的概率為P=$\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×（1-\frac{7}{8}）$=$\frac{1}{10}$．
（II）一件產品通過審查的概率為$\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×\frac{7}{8}$=$\frac{7}{10}$，
∴X～B（3，$\frac{7}{10}$），
故X的可能取值為0，1，2，3，
且P（X=0）=（1-$\frac{7}{10}$）³=$\frac{27}{1000}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{7}{10}$•（1-$\frac{7}{10}$）²=$\frac{189}{1000}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•$（$\frac{7}{10}$）²•（1-$\frac{7}{10}$）=$\frac{441}{1000}$
P（X=3）=（$\frac{7}{10}$）³=$\frac{343}{1000}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{343}{1000}$

E（X）=3×$\frac{7}{10}$=$\frac{21}{10}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算，二項分布及數學期望，屬于中檔題．