Question

15．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為．

Answer 1

分析 首先分析題目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 $\sqrt{ab}$代入已知條件，轉化為解不等式求最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=8-x•（2y）≥8-（$\frac{x+2y}{2}$）²（當且僅當x=2y時取等號）
整理得（x+2y）²+4（x+2y）-32≥0
即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（當且僅當x=2y時即x=2，y=1時取等號）
則x+2y的最小值是4．
故答案為：4．

點評 此題主要考查基本不等式的用法，對于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值、最小值的問題中應用非常廣泛，需要同學們多加注意．