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6.如圖,已知橢圓Γ:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 (a>b>0)經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A($\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$),B(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{3}{4}$),C(C在第三象限),線段BC的中點(diǎn)在直線OA上.
(Ⅰ)求橢圓Γ的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓Γ上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B、C)且直線PB、
PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn),問(wèn)|OM|•|ON|是否為定值?
若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)將A,B代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得D點(diǎn)坐標(biāo),求得直線OA的方程,代入橢圓方程,即可求得m和n的值,即可求得C點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)根據(jù)直線的斜率公式.求得y1及y2,由x02=$\frac{5}{2}$-4y02,代入即可求得y1y2,由|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y1丨•$\sqrt{5}$丨y2丨,即可求得|OM|•|ON|為定值 $\frac{25}{16}$.

解答 解:(Ⅰ)由點(diǎn)A,B在橢圓Γ上,得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4{a}^{2}}+\frac{5}{16{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{9}{16{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{5}{2}}\\{{b}^{2}=\frac{5}{8}}\end{array}\right.$,
∴橢圓Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{8}}=1$    …(4分)
設(shè)C(m,n),則BC的中點(diǎn)D($\frac{2m-1}{4}$,$\frac{4n-3}{8}$),∵D在直線OA上
由已知,求得直線OA的方程為x-2y=0,從而m=2n-1,①
又點(diǎn)C在橢圓Γ上,故2m2+8n2=5,②
由①②解得n=$\frac{3}{4}$(舍去)或n=-$\frac{1}{4}$,則m=-$\frac{3}{2}$,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{4}$);  …(6分)
(Ⅱ)設(shè)P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2),
∵P,B,M三點(diǎn)共線,∴$\frac{{y}_{1}+\frac{3}{4}}{2{y}_{1}+\frac{1}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{3}{4}}{{x}_{0}+\frac{1}{2}}$,y1=$\frac{3{x}_{0}-2{y}_{0}}{4(2{y}_{0}-{x}_{0}+1)}$,
∵P,C,M三點(diǎn)共線,∴$\frac{{y}_{2}+\frac{1}{4}}{2{y}_{2}+\frac{3}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}+\frac{3}{2}}$,y2=$\frac{{x}_{0}-6{y}_{0}}{4(2{y}_{0}-{x}_{0}-1)}$,…(8分)
∵點(diǎn)P在橢圓Γ上,
∴2x02+8y02=5,x02=$\frac{5}{2}$-4y02
∴y1y2=$\frac{(3{x}_{0}-2{y}_{0})({x}_{0}-6{y}_{0})}{16[(2{y}_{0}-{x}_{0})^{2}-1]}$=$\frac{3{x}_{0}^{2}-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16(4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1)}$
=$\frac{3(\frac{5}{2}-4{y}_{0}^{2})-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16(\frac{5}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1)}$=$\frac{5(\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0})}{16(\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0})}$=$\frac{5}{16}$,…(10分)
∴|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y1丨•$\sqrt{5}$丨y2丨=5丨y1y2丨=$\frac{25}{16}$為定值.
∴|OM|•|ON|為定值 $\frac{25}{16}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用,直線的斜率公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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