Question

16．設向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（-1，1），$\overrightarrow{c}$=（1，1），其中x∈（0，π]．
（1）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，求實數x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，求函數sinx的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的坐標運算與共線定理，列出方程求出sinx的值，再根據x的取值范圍求出x的值；
（2）根據平面向量數量積的定義和三角恒等變換，利用特殊角的三角函數值，即可求出sinx的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（-1，1），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（sinx-1，$\sqrt{3}$cosx+1）；
又$\overrightarrow{c}$=（1，1），且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，
∴（sinx-1）-（$\sqrt{3}$cosx+1）=0，
化簡得sinx-$\sqrt{3}$cosx=2，
即2（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）=2，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=1；
又x∈[0，π]，
∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴x=$\frac{5π}{6}$；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）
=2cos（x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$；
又x∈[0，π]，
則x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1{-（\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$；
∴sinx=sin（x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換以及平面向量的數量積運算問題，是綜合題．