Question

4．已知函數f（x）=x³+ax²+1（a∈R）．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在區間[1，2]上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）通過討論a的范圍，結合函數的單調性得到[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{2}{3}$a，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$a＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$a）遞增，在（-$\frac{2}{3}$a，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（-$\frac{2}{3}$a）=-$\frac{8}{27}$a³+a•$\frac{4}{9}$a²+1=$\frac{4}{12}$a³+1，
f（x）_極小值=f（0）=1．
（2）由（1）a≥0時，f（x）在[1，2]遞減，不合題意，
a＜0時，f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，-$\frac{2}{3}$a）遞減，在（-$\frac{2}{3}$a，+∞）遞增，
若f（x）在[1，2]遞減，則[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，
故-$\frac{2}{3}$a≥2，解得：a≤-3，
故a的范圍是（-∞，-3]．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．