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9.如圖,直角梯形ABCD與等邊△ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=AD=2,F為線段EA上的點,且EA=3EF.
(I)求證:EC∥平面FBD
(Ⅱ)求多面體EFBCD的體積.

分析 (Ⅰ)連接AC、BD交于點O,連接FO,可得AC=3OC,又EA=3EF,得FO∥EC
即可證得EC∥平面FBD
(Ⅱ)多面體EFBCD的體積V=VE-ABCD-VF-ABD=$\frac{1}{3}×(\frac{1+2}{2}×\sqrt{3})×\sqrt{3}-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}×2×\sqrt{3})$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$

解答 解:(Ⅰ)連接AC、BD交于點O,連接FO,
在梯形ABCD中,有△DOC與△BOA相似,可得OA=2OC,AC=3OC,
又EA=3EF,∴FO∥EC
又FO?面FBD,EC?面FBD
平面ACE∩平面FBD=FM.
∴EC∥平面FBD;
(Ⅱ)多面體EFBCD的體積V=VE-ABCD-VF-ABD
=$\frac{1}{3}×(\frac{1+2}{2}×\sqrt{3})×\sqrt{3}-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}×2×\sqrt{3})$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$.

 

點評 本題考查線面平行的判定,考查了棱錐的體積計算,考查了學生的識圖能力與計算能力.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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