Question

19．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，拋物線y²=2px（p＞0）的準線與雙曲線C的漸近線交于A，B點，△OAB（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線的方程為（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=6x
• C． y²=8x
• D． y²=16x

Answer 1

分析 由雙曲線的離心率，可得a=b，求得漸近線方程和拋物線的準線方程，聯立解得A，B，再由三角形的面積公式，解方程可得p，進而得到所求拋物線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得a=b，
漸近線方程為y=±x，
拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
求得A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{2}$），B（-$\frac{p}{2}$，$\frac{p}{2}$），
△OAB（O為坐標原點）的面積為4，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{2}$•p=4，解得p=4，
即有拋物線的方程為y²=8x．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率和漸近線方程，考查拋物線的方程和性質，以及運算能力，屬于中檔題．