Question

7．設a，b，c為三個不同的實數，記集合A=$\left\{\begin{array}{l}{x∈R|\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1=0}\\{{x}^{2}+bx+c=0}\end{array}\right.\left.\right\}}\end{array}\right.$，B=$\left\{\begin{array}{l}{x∈R|\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a=0}\\{{x}^{2}+cx+b=0}\end{array}\right.\left.，\right\}}\end{array}\right.$，若集合A，B中元素個數都只有一個，則b+c=（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 設x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，得x₁=$\frac{c-1}{a-b}$，同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=$\frac{a-b}{c-1}$（c≠1），再根據韋達定理即可求解．

解答 解：設x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，兩式相減，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=$\frac{c-1}{a-b}$，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=$\frac{a-b}{c-1}$ （c≠1），
∵x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$是第一個方程的根，
∵x₁與$\frac{1}{{x}_{1}}$是方程x₁²+ax₁+1=0的兩根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此兩式相減有（a-1）（x₂-1）=0，
當a=1時，這兩個方程無實根，
故x₂=1，從而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
故選：C．

點評 本題考查了根與系數的關系及二元一次方程的解，屬于基礎題，關鍵是根據韋達定理解題．