Question

已知函數y=x 

3

2

+x 

1

2

（x＞0）的圖象上有一動點P且在該點處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質

分析：求出函數的導數，運用基本不等式可得切線的斜率k≥

3

，再由直線的斜率公式及傾斜角的范圍和正切函數的圖象和性質，即可得到所求范圍．

解答： 解：函數y=x 

3

2

+x 

1

2

（x＞0）的導數為y′=

3

2

x

1

2

+

1

2

x-

1

2

≥2

3 2 x 1 2 • 1 2 x- 1 2

=

3

，
由在該點P處的切線的傾斜角為θ，
即有tanθ≥

3

，
由0≤θ＜π，
即有

π

3

≤θ＜

π

2

．
故答案為：[

π

3

，

π

2

）．

點評：本題考查導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，正確求導和運用正切函數的圖象和性質是解題的關鍵．