Question

設函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a=

1

3

時，設函數g（x）=x²-2bx-

5

12

，若對于?x₁∈[0，1]，對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）的定義域，并求導函數，當a=1時，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，對a討論，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區間；令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）當a=

1

3

時，求得函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

；對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出g（x）=x²-2bx-

5

12

，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．

解答： 解：函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

，
（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，
∴f（1）=-2，f′（x）=

1

x

-1，
∴f′（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2；
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-ax-1+

1-a

x

的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

(x-1)(-ax+1-a)

x2

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，可得x＞1，f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
即有增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）；
f′（x）=0，可得x=1或

1-a

a

，
②當0＜a＜

1

2

時，1＜

1-a

a

，f′（x）＞0可得1＜x＜

1-a

a

，
f′（x）＜0可得0＜x＜1或x＞

1-a

a

，
即有增區間為（1，

1-a

a

），減區間為（0，1），（

1-a

a

，+∞）；
③當a=

1

2

時，f′（x）＜0恒成立，則減區間為（0，+∞）；
④當

1

2

＜a＜1時，

1-a

a

＜1，f′（x）＞0可得

1-a

a

＜x＜1，
f′（x）＜0可得0＜x＜

1-a

a

或x＞1，
即有增區間為（

1-a

a

，1），減區間為（0，

1-a

a

），（1，+∞）；
⑤當a≥1時，f′（x）＜0，可得x＞1，f′（x）＞0，可得0＜x＜1．
即有增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）．
（Ⅲ）當a=

1

3

時，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（1，2）上為增函數，
∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

，
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）         
又g（x）=x²-2bx-

5

12

=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數，g（x）_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾．
②當0≤b≤1時，g（x）_min=g（b）=-b²-

5

12

，由-b²-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1．
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數，g（x）_min=g（1）=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此時b＞1．
綜上，b的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是將任意的存在性問題轉化為求函數的最值．