Question

已知f（x）=（x-1）lnx-2，g（x）=lnx-x²+ax．
（1）求函數f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）若對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=lnx+

x-1

x

=lnx+1-

1

x

，在[t，t+1]（t＞0）上單調遞增，f′（1）=0．當t≥1時，f′（t）≥f′（1）=0，即可得出f（x）在[t，t+1]（t＞0）上單調性與最小值；當0＜t＜1時，1＜t+1＜2，利用其單調性即可得出最小值；
（2）g（x）+f（x）≤0，即h（x）=xlnx-x²+ax-2≤0．由對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立，?a≤x-lnx+

2

x

=h（x），x∈（0，+∞）．利用導數研究其單調性即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+

x-1

x

=lnx+1-

1

x

，在[t，t+1]（t＞0）上單調遞增，f′（1）=0．
當t≥1時，f′（t）≥f′（1）=0，∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）上單調遞增，當x=t時，函數f（x）取得最小值，f（t）=（t-1）lnt-2．
當0＜t＜1時，1＜t+1＜2，當x∈（t，1）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（1，t+1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
∴當x=1時，函數f（x）取得最小值，f（1）=-2．
（2）g（x）+f（x）≤0，即h（x）=xlnx-x²+ax-2≤0．
由對一切x∈（0，+∞），g（x）+f（x）≤0恒成立?a≤x-lnx+

2

x

=h（x），x∈（0，+∞）．
h′（x）=1-

1

x

-

2

x2

=

(x-2)(x+1)

x2

，
當x＞2時，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；
當0＜x＜2時，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減．
∴當x=2時，函數h（x）取得極小值即最小值h（2）=3-ln2．
∴a≤3-ln2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，3-ln2]．

點評：本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值、分類討論思想方法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．