Question

在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10和2a₂+2與5a₃成等比數列．
（1）求d及a_n；
（2）若b_n=|a_n|，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T₁₅．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）當a_n=4n+6時，b_n=|a_n|=a_n，直接利用等差數列的前n項和公式即可得出T₁₅；當a_n=11-n時，由a_n≥0，解得n≤11，可得b_n=|a_n|=

11-n，n≤11 n-11，n≥12

，分類討論再利用等差數列的前n項和公式即可得出T₁₅．

解答： 解：（1）∵a₁=10和2a₂+2與5a₃成等比數列．
∴(2a2+2)2=a1×5a3，
∴4（10+d+1）²=50（10+2d），化為d²-3d-4=0，
解得d=4或-1．
∴a_n=10+4（n-1）=4n+6，或a_n=10-（n-1）=11-n．
∴a_n=4n+6，或a_n=11-n．
（2）當a_n=4n+6時，b_n=|a_n|=a_n，T₁₅=

15(10+4×15+6)

2

=570；
當a_n=11-n時，由a_n≥0，解得n≤11，
∴b_n=|a_n|=

11-n，n≤11 n-11，n≥12

，
∴T₁₅=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a₁₅
=

11(10+11-11)

2

+1+2+3+4
=55+10
=65．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、絕對值數列，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．