Question

若函數(shù)f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx在x=1處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由函數(shù)在x=1時的導數(shù)為0列式求得a的值；
（2）把（1）中求出的a值代入f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx，求其導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，利用導函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號求單調(diào)期間，進一步求得極值點，代入原函數(shù)求得極值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，
又f′(x)=2ax+2-

4

3x

，
∴2a+2-

4

3

=2a+

2

3

=0，解得：a=-

1

3

；
（2）f（x）=-

1

3

x²+2x-

4

3

lnx，
函數(shù)的定義域為（0，+∞），
由f′(x)=-

2

3

x-

4

3x

+2=

-2x2+6x-4

3x

=

2

3x

(-x2+3x-1)=0，
解得：x1=

3- 5

2

，x2=

3+ 5

2

．
∴當x∈(0，

3- 5

2

)，(

3+ 5

2

，+∞)時，f′（x）＜0；
當x∈(

3- 5

2

，

3+ 5

2

)時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(0，

3- 5

2

)，(

3+ 5

2

，+∞)；
單調(diào)增區(qū)間為(

3- 5

2

，

3+ 5

2

)．
f（x）的極小值為f（

3- 5

2

）=-

1

3

×(

3- 5

2

)2+2×

3- 5

2

-

4

3

ln

3- 5

2

=

11-3 5

6

-

4

3

ln

3- 5

2

；
f（x）的極大值為f（

3+ 5

2

）=-

1

3

×(

3+ 5

2

)2+2×

3+ 5

2

-

4

3

ln

3+ 5

2

=

11+3 5

6

-

4

3

ln

3+ 5

2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了函數(shù)極值的求法，是中檔題．