Question

已知a∥b，M∈a，N∈b，MN⊥a，A∈MN，AM=AN=1，B∈a，C∈b，∠BAC=90°，求△ABC周長的最小值．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：解三角形

分析：設NC=x，由條件以及△ACN∽△BAM可得BM=

1

x

．求出AB、AC、BC的值，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：如圖所示：設NC=x，由于∠BAC=90°，可得∠ABM=∠NAC，
∴△ACN∽△BAM，∴

CN

AM

=

AN

BM

，再根據 AM=AN=1，可得

x

1

=

1

BM

，求得BM=

1

x

．
∴AB=

AM2+BM2

=

1+ 1 x2

，AC=

AN2+NC2

=

1+x2

，∴BC=

AB2+AC2

=

1+x2+1+ 1 x2

，
∴△ABC周長為AB+AC+BC=

1+ 1 x2

+

1+x2

+

1+x2+1+ 1 x2

≥

1+ 1 x2

+

1+x2

+

2+2

，
當且僅當x=1時，等號成立，
故△ABC周長的最小值為2

2

+2．

點評：本題主要考查三角形相似的性質、勾股定理、基本不等式的應用，屬于中檔題．