Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，的4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數列，當n≥11時，a_n＞0．
（1）求證，當a≥11時，{a_n}為等差數列
（2）求：當n＞10時，{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由4S_n=a_n²+2a_n-3，利用遞推式可得：a₁=3或-1．當n≥2時，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數列，當n≥11時，a_n＞0．因此當n≤10時，取a_n=-a_n-1；當n≥11時，取a_n-a_n-1=2，必須取a₁=3．
（2）當n≤10時，a_n=3×（-1）^n-1，當n＞10時，a_n=3+2（n-11）=2n-19．利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，∴當n=1時，4a1=

a

2 1

+2a1-3，解得a₁=3或-1．
當n≥2時，4S_n-1=

a

2 n-1

+2an-1-3，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．
由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數列，當n≥11時，a_n＞0．
∴當n≤10時，取a_n=-a_n-1；當n≥11時，取a_n-a_n-1=2，必須取a₁=3．
∴當a≥11時，{a_n}為等差數列，首項為3，公差為2．
（2）當n≤10時，a_n=3×（-1）^n-1，
當n＞10時，a_n=3+2（n-11）=2n-19．
{a_n}的前n項和S_n=（3-3+3-3+…+3-3）+3+5+…+（2n-19）
=

(n-10)(3+2n-19)

2

=n²-18n+80．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．