Question

O為平行四邊形ABCD所在平面上一點，若3|

AB

|=2|

AD

|，

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），則λ的值是（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、-

  2

  3

• D、-1

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，延長AC到點E，使得AE=2AC，以AE，AB為鄰邊作一個平行四邊形ABFE，連接對角線AF．分別取AB，CD的中點N，M．由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），可知：點O是AF與NM的交點．直線EF與NM相交于點P，直線EF與AD相交與點Q，直線DC與AF相交于點G．可得

ON

=λ

OM

.3|

AB

|=2|

AD

|，不妨設|

AB

|=2，則|

AD

|=3，利用平行四邊形的性質、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，
延長AC到點E，使得AE=2AC，以AE，AB為鄰邊作一個平行四邊形ABFE，連接對角線AF．
分別取AB，CD的中點N，M．
由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），
可知：點O是AF與NM的交點．
直線EF與NM相交于點P，直線EF與AD相交與點Q，直線DC與AF相交于點G．
∵

OA

+

OB

=2

ON

，

OC

+

OD

=2

OM

，
∴

ON

=λ

OM

．
∵3|

AB

|=2|

AD

|，
∴不妨設|

AB

|=2，則|

AD

|=3，
∵點C是線段AE的中點，
∴EQ=4，PQ=1，EP=3．
∴

ON

OP

=

AN

FP

=

1

5

，
∵G為AF的中點，
∴CG=

1

2

EF=1．
∴

OM

OP

=

MG

FP

=

2

5

，
∴

ON

OM

=

1

2

，
∴λ=-

1

2

．
故選：B．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、平行四邊形的性質、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．