Question

20．已知拋物線C：y=mx²，直線l：2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q，若Q在以AB為直徑的圓上，求m的值．

Answer 1

分析 聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，得mx²-2x-2=0，△=（-2）²-4m（-2）＞0，⇒m＞-$\frac{1}{2}$．設A（${x}_{1}，m{{x}_{1}}^{2}）$，B（x₂，mx${{\;}_{2}}^{2}$），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{m}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，P（$\frac{1}{m}$，y_P），Q（$\frac{1}{m}，\frac{1}{m}$）．
由Q在以AB為直徑的圓上，則$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，得$-\frac{4}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}+4=0$，解得m=2，$或m=-\frac{1}{2}$（舍去）

解答 解：聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，得mx²-2x-2=0
△=（-2）²-4m（-2）＞0，⇒m＞-$\frac{1}{2}$．
設A（${x}_{1}，m{{x}_{1}}^{2}）$，B（x₂，mx${{\;}_{2}}^{2}$），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{m}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$
∴線段AB的中點P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{m{{x}_{1}}^{2}+m{{x}_{2}}^{2}}{2}$），即P（$\frac{1}{m}$，y_P），Q（$\frac{1}{m}，\frac{1}{m}$）．
$\overrightarrow{QA}=（{x}_{1}-\frac{1}{m}，m{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{m}$），$\overrightarrow{QB}=（{x}_{2}-\frac{1}{m}，m{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{m}）$，
若Q在以AB為直徑的圓上，則$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
即（${x}_{1}-\frac{1}{m}$）（x₂-$\frac{1}{m}$）+（m${{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{m}$）（$m{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{m}$）=0．
化簡得$-\frac{4}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}+4=0$，解得m=2，$或m=-\frac{1}{2}$（舍去）
∴m=2

點評 本題考查了拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．