Question

15．F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₂的直線l與雙曲線的兩支分別交于點A、B，若△ABF₁為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義，可得F₂B-F₁B=F₂B-AB=F₂A=2a，AF₁-AF₂=2a，則AF₁=4a，F₁F₂=2c，再在△F₁AF₂中應用余弦定理得a，c的關系，則答案可求．

解答 解：如圖，△ABF₁為等邊三角形，
B為雙曲線上一點，F₂B-F₁B=F₂B-AB=F₂A=2a，
A為雙曲線上一點，則AF₁-AF₂=2a，
則AF₁=4a，F₁F₂=2c，
由∠BAF₁=60°，得∠F₁AF₂=120°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，
∴e²=7，得e=$\sqrt{7}$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．