Question

20．復數z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i），（其中 i為虛數單位，m∈R），
（1）當m=0時，求復數z的模；    
（2）當實數m為何值時復數z為純虛數；
（3）當實數m為何值時復數z在復平面內對應的點在第二象限？

Answer 1

分析 由已知整理得：z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i）=（m²+3m-4）+（m²-10m+9）i．
（1）當m=0時，z=-4+9i，利用模的計算公式即可得出|z|．
（2）當$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4=0}\\{{m}^{2}-10m+9≠0}\end{array}\right.$，解出即可得出復數z為純虛數．
（3）當$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4＜0}\\{{m}^{2}-10m+9＞0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由已知整理得：z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i）=（m²+3m-4）+（m²-10m+9）i．…（2分）
（1）當m=0時，z=-4+9i，∴|z|=$\sqrt{（-4）^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{97}$．…（6分）
（2）當$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4=0}\\{{m}^{2}-10m+9≠0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=-4或m=1}\\{m≠9，且m≠1}\end{array}\right.$，即m=-4，復數z為純虛數  …（10分）
（3）當$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4＜0}\\{{m}^{2}-10m+9＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4＜m＜1}\\{m＜1或m＞9}\end{array}\right.$，即-4＜m＜1時，復數z在復平面內對應的點在第二象限          …（14分）

點評 本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義、幾何意義、模的計算公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．